Помимо преподавательской деятельности в Школе-студии (институт) имени Вл. И. Немировича-Данченко при МХАТ имени А. П. Чехова, преподавал в Британо-американской школе драматического искусства в Оксфорде (Англия, 1990–1993), в Международной школе театрального искусства имени А. Чехова в Цюрихе (Швейцария, 1989–1991), в стажерской группе Театра Бобиньи в Париже (1992–1995).

В 1983 году А. А. КАЛЯГИНУ присвоено почетное звание «Народный артист РСФСР». Он дважды становился лауреатом Государственной премии СССР: в 1981 году — за участие в фильме «Допрос»; в 1983 — за участие в спектакле МХАТ «Так победим!». В 2002 году получил Международную театральную премию имени К. С. Станиславского; в 2004 — приз «За выдающийся вклад в азербайджанское кино», МКФ «Восток — Запад» (Баку). А. А. КАЛЯГИН награжден орденами: «Знак Почета» (1985), Почета (2012), «За заслуги перед Отечеством» IV и III степени (2002, 2004). В 2001 году награжден Золотым Почетным знаком «Общественное признание»; в 2005 году по результатам Открытого ежегодного всероссийского конкурса «Лидер года» признан лучшим общественным деятелем; в 2006 году ему вручена премия Союзного государства России и Белоруссии в области литературы и искусства за идею создания Центра поддержки русского театра за рубежом. В настоящее время этот Центр действует как структурное подразделение Центрального аппарата Союза.

С июня 1999 по август 2004 года включительно А. А. КАЛЯГИН был членом Совета по культуре и искусству при Президенте Российской Федерации. Вновь вошел в состав этого Совета на основании Указа Президента Российской Федерации от 19.09.2012 года. С 2006 по 2008 год А. А. КАЛЯГИН являлся руководителем Комиссии Общественной палаты Российской Федерации по вопросам развития культуры, с 2010 по 2011 год — членом Комиссии Общественной платы Российской Федерации по региональному развитию и местному самоуправлению.